函数的图象【多篇】

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河南省说课大奖赛教案

高中新教村《数学》第一册（下）

§4.8  正弦函数、余弦函数的图象和性质（一）

正弦函数、余弦函数的图象

单位：河南省济源市第一中学

作者：石    明    秀

时间：2000年9月9日

一、教材分析：

本节课是高中新教材《数学》第一册（下）§4.8《正弦函数、余弦函数的图象和性质》 的第一节，是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上，进一步研究三角函数图象的画法。为今后学习正弦型函数 y＝Asin (ωx＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础。因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用。

二、学情分析：

在初中学生已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌。因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础。动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。

三、教学目标 ：

依据教学大纲的要求，制订如下三维教学目标 ：

知识目标是：1.理解几何法作图原理（难点）；

2.掌握五点法作图（重点）；

3.了解三角函数图象的变换作图。

能力目标是：通过识记正、余弦曲线的形状特征，培养学生分析问题、

解决问题的能力；强化学生＂数形结合＂的数学思想。

发展目标是：教给学生灵活的思维方法，培养学生的学习兴趣和勇于

探索、勇于创新的精神，提高综合素质。

四、设计理念：

教无定法，贵在得法。诱思探究学科教学论认为：在教学思想上是启发式，在教学过程 上是探究式，在教学价值上是发展式。德国教育学家第斯多惠也曾说过：教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。为了充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，充分让学生参与教学活动。同时利用多媒体电教手段提高学生的学习兴趣。采用启发、引导和学生探究、实践、体验相结合的教学方法；教给学生“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现、重体验、促发展”的学习方法。体现“教师是主导，学生是主体”的教学原则。使学生不但“学会”而且“会学”，并逐步感受到数学的美，产生成就感，从而极大地提高对数学的学习兴趣。也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。

五、教学程序：

本节课的教学过程 设计，主要是从“三性”即“课堂流程的可操作性，知识目标的可接受性，学生主动学习的积极性”考虑的，对整个教学过程 作如下安排：

教学程序图如下：

第一部分：导入  .先复习以前学过的函数图象的作法——描点法，再让学生观察波动图象演示仪，激起学生的兴趣。指出这种形状的曲线就是今天要研究的正、余弦函数的图象。如何作出该曲线呢？

以设问和探索的方式导入  新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与下列教学活动。

第二部分：几何法作图。引导学生在单位圆中作出特殊角的三角函数线，并进行平移，描点作图。先作出 y＝sinx(x∈[0，2π])和y=cosx(x∈[0，2π]的图象，再依据诱导公式一平移图象得出  y＝sinx，x∈R的图象。同法得出 y=cosx，x∈R的图象。

第三部分：多媒体展示。教师利用多媒体展示用Flash动画制作的课件，规范作图过程和步骤，统一认识y＝sinx（x∈[0，2π]）和y=cosx(x∈[0，2π]的图象，在此提醒学生在直角坐标系中，横、纵坐标轴的长度单位必须一致。否则画出的图象不是正弦函数的真实面貌。

第四部分：“五点法”作图。曲线形成后，让学生观察图象的形状特征，分析讨论，提炼出五个关键点，归纳出“五点法”作图步骤。

第五部分：总结。让学生自己总结本节课的重点、难点和学习目标，教师再补充。这样做，会检测出学生听课、分析、思考和掌握知识的情况，对本节课的教学起到画龙点睛的作用。

如此设计，联系了新旧知识，体现了从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律。在这种螺旋式上升的过程中，学生将通过自己的亲自动手实践，不仅学到本节课的知识，而且还将提高思维水平和认知能力。同时也体现了"教师为引导，学生为主体，体验为红线，探索得材料，研究获本质，思维促发展"的教学思想。同时在教学过程 中配以多媒体课件的展示，图文并茂，简洁明快，充分调动学生的各个感官，使学生学的生动，学的有趣，增大课堂容量，提高课堂效率。

为了突破几何法作图这个难点，制作了多媒体课件，将 y＝sinx，x∈R

和  y＝cos x，x∈R图象的作法分解为三个问题来解决，降低了难度。通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程。使原本枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣，调动学生的积极性(通过教学也的确是这样的).及时让学生跟着演示作图，提高学生的动手能力、模仿能力、创造能力。直观的动画，不仅使学生愉快地接受新知识，而且将激发学生的创造性思维和想象力，使学生充分发挥其思维潜能，拓展思维空间。

用“三步曲”来突出“五点法”作图这个重点。第一步设疑：“几何法作图。由于取点个越多，画出的图象也就比较精确，但也较为麻烦。在精确度要求不高的前提下，能否少定一些点，作出其简图呢？”问题的提出可以立刻抓住学生的好奇心，激起学生强烈的求知欲。第二步引导：让学生观察正弦函数 y＝sinx，x∈[0，2π]和余弦函数y＝ cosx，x∈[0，2π]的图象，启发哪些点对决定图象的形状起着关键的作用呢？引导学生寻找出五个关键点。体现教师的主导作用；第三步小结：让学生分组讨论，互相补充，归纳出五点法作图步骤。教师对学生讨论的情况作出评价并指出作图应注意的问题，然后小结：“五点法”可以比较简捷地作出正弦、余弦函数的草图，对于以后研究正弦、余弦函数的性质将起到重要的作用。这样设计体现了“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现”的学习方法，使学生真正成为教学的主体。

应用：画出下列函数的简图：

(1)y=1+sinx    x∈［0,2π］;

(2)y=－cosx    x∈［0,2π］.

解：(1)按五个关键点列表：

利用正弦函数的性质描点画图(如下图).

(2)按五个关键点列表：利用余弦函数的性质描点作图(如下图).

反馈练习：

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

（3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合

① ②

参考答案：

（1）C.注： 与 相邻两点之间距离即为周期长

（2）D.注：由 ，但 ，反之 ，但

（3）①

②

4.总结提炼

（1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。

（2） 性质。

定义域

值域

周期

奇偶性

单调增区间

对称中心

渐近线方程

奇函数

，

（四）板书设计 

课题……

1.用正切线作正切函数图像

2.正切函数的性质

例1

例2

演练反馈

总结提炼

一、目的要求

1.使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。

2.结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

3.在学习的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

二、内容分析

1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。

2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13.3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。

三、教学过程

复习提问：

1.什么是一次函数？什么是正比例函数？

2.在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：

y=2x   y=2x-1   y=2x+1

新课讲解：

1.我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。

-§www. 再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。

一般地，一次函数的图象是一条直线。

前面我们在画一次函数的图象时，采用先列表、描点，再连续的方法。现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。

先看两个正比例项数，

y=0.5x

与 y=-0.5x

由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时，

y=0

即函数图象经过原点。(让学生想一想，为什么？)

除了点(0，0)之外，对于函数y=0.5x，再选一点(1，0.5)，对于函数y=-0.5x。再选一点(1，一0.5)，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。

实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般按以以下三步：

(1)先选取两点，通常选点(0，0)与点(1，k)；

(2)在坐标平面内描出点(0， o)与点(1，k)；

(3)过点(0，0)与点(1，k)做一条直线。

这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象。

观察正比例函数  y=0.5x 的图象。

这里，k＝0.5＞0.

从图象上看， y随x的增大而增大。

再观察正比例函数 y＝-0.5x  的图象。

这里，k＝一0.5＜0

从图象上看， y随x的增大而减小

实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质。

先看

y=0.5x

任取两对对应值。 (x1,y1)与(x2,y2)，

如果x1＞x2，由k＝0.5＞0，得

0.5x1＞0.5x2

即   yl＞y2

这就是说，当x增大时，y也增大。

类似地，可以说明的y＝-0.5x  性质。

从解析式本身特点出发分析正比例函数性质，可视学生程度考虑是否向学生介绍。

一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：

（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；

（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。

2、讲解教科书13.5节例1.与画正比例函数图象类似，画一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可，为了描点方便，对于一次函数

y=kx+b(k,b是常数，k≠0)

通常选取

(o，b)与(-

两点，

对于例 l中的一次函效

y=2x+1与y=-2x+1

就分别选取

(o，1)与(一0.5，2)，

还有

(0，1)—与(0.5.0).

在例1之后，顺便指出，一次函数y＝kx+b的图象，习惯上也称为直线) y＝kx+b

结合例1中的两个一次函数的图象，就可以得到与正比例函数类似的关于一次函数的两条性质。

对于一次函数的性质，也可以从一次函数的解析式分析得出，这与正比例函数差不多。

课堂练习：

教科书13.5节第一个练习第l—2题，在做这两道练习时，可结合实例进一步说明正比例函数与一次函数的有关性质。

课堂小结：

1.正比例函数y=kx图象的画法：过原点与点(1，k)的直线即所求图象。

2. 一次函数y＝kx+b图象的画法：在y轴上取点(0，6)，在x轴上取点，0)，过这两点的直线即所求图象。

3.正比例函数y=kx与一次函数y＝kx+b的性质(由学生自行归纳).

四、课外作业

1.教科书习题13.5a组第l一3题。

2.选作教科书习题13.5b组第1题。

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